Институт Естественных Наук и Экологии Карта сервера
Версия для печати
  Главная  События  О нас  Учебная часть  Студенты  Преподаватели  [Школа 1189]
   Учебные материалы   Текущий учебный год   [Курчатовская Олимпиада]
Курчатовская олимпиада 2003-2004.
Задачи для 11 класса. PDF-версия.
  1. Задана последовательность положительных чисел a1, a2, a3,...,an,..., таких, что an+12 + an2 = n2. Известно, что a1 = 39591/2/100. Чему равен 150-й член последовательности?
Задачи для 10 класса. PDF-версия.
  1. Найдите сумму 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + ..., где |x| < 1.
  2. Решите уравнение
    Невоспроизводимое уравнение
  3. Периметр треугольника ABC равен 10, а угол BAC равен 60o. Точки K и L -- основания перпендикуляров, опущенных из вершины A на биссектрисы внешних углов B и C. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AKL.
  4. Биллиард имеет форму правильного треугольника ABC со стороной 1 метр; в его вершинах находятся лузы. Шар начинает двигаться прямолинейно из середины стороны AB, трижды отражается от стенок и попадает в лузу в вершине C. Какой путь пройден шаром?
    Примечание: при упругом ударе шара о стенку угол падения равен углу отражения; радиус шара пренебрежимо мал по сравнению с размерами стола.
  5. Шарик небольшого радиуса соскальзывает без начальной скорости с высоты H0, двигаясь без трения по желобу, установленному в вертикальной плоскости на тележке, которая может двигаться по горизонтальному полу. Горизонтальный участок желоба плавно переходит в полуокружность радиуса R. Найти: Считать суммарную массу тележки и желоба равной массе шарика. Массами колёс тележки и трением её о пол пренебречь. Задачу решить для случая H0 = 55R/32.
    Рисунок к задаче
  6. u молей воздуха при температуре T0 находятся в сосуде с вертикальными стенками под тяжелым подвижным поршнем массы M. Поршень соединён пружиной жесткости k с потолком так, что пружина осталась недеформированной. Найти теплоёмкость системы.
    Теплоёмкостями сосуда и поршня пренебречь. Трение поршня со стенками сосуда не учитывать.
  7. Сфера радиуса R однородно заряжена с поверхностной плотностью s. Горизонтальной плоскостью, проходящей на расстоянии a < R от верхней точки сферы, отрезают верхний сферический сегмент. Если место среза полностью закрыть равномерно заряженным кругом с некоторой поверхностной плотностью заряда s' и массой M, то этот круг будет свободно висеть в поле тяжести Земли. На сколько нужно изменить поверхностную плотность заряда круга, чтобы этот же круг свободно висел над нижним сферическим сегментом на месте среза верхней части сферы, осуществляемого плоскостью, проходящей на расстоянии a от нижней точки сферы?
Задачи для 9 класса. PDF-версия.
  1. Решите уравнение
    x3+3-4(4x-3)1/3=0.
  2. Решите уравнение
    (x-37)/21 + (x-21)/37 = 37/(x-21) + 21/(x-37).
  3. Внутри равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = AC и угол A ревен 80o, взята точка P такая, что угол PBC = 30o, угол PCB = 10o. Найти угол APC.
  4. Высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Найдите длину отрезка A1B1, если известно, что AB = CH = 2.
  5. Из одной и той же точки на поверхности земли с одинаковыми начальными скоростями бросают два камня. При этом дальности полёта оказываются одинаковыми, а времена полётов отличаются в 31/2 раз. Под какими углами были брошены камни?
  6. На чаше весов находится клин с углом при основании a, а на нём два груза, связанные перекинутой через невесомый блок нитью. Грузы сначала удерживают в покое, а затем отпускают. Найти показания весов и силу трения, действующую на клин со стороны чаши, если известно, что клин не передвигается по чаше. Масса каждого из грузов равна m, масса клина равна M, трение между клином и грузами отсутствует.
    Рисунок к задаче
  7. Систему из двух одинаковых шариков, соединенных невесомым жестким стержнем, удерживают в покое в вертикальной плоскости так, что шарики касаются внутренней поверхности закреплённой сферы. Определить ускорения шариков сразу же после того, как их отпустят. Трение отсутствует.
    Рисунок к задаче
Задачи для 8 класса. PDF-версия.
  1. Первый толстяк съедает торт за 8 минут, второй -- за 6, а третий -- за 3 минуты. Сколько минут и секунд понадобится всем трём толстякам вместе чтобы съесть один торт?
  2. Найдите все целые положительные числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению
    ab+ac+bc+2=abc.
  3. Три купца Тит, Карп и Фрол и их жены Олимпиада, Сосипатра и Поликсена (кто на ком женат, мы не знаем) делали покупки на ярмарке. Каждый из них купил столько вещей, сколько рублей заплатил за каждую вещь. Тит купил на 23 предмета больше, чем Сосипатра, а Карп -- на 11 предметов больше, чем Олимпиада. Известно, что каждый купец потратил на 63 рубля больше, чем его жена. Сколько покупок совершила Поликсена?
  4. Можно ли число 11...122...2, состоящее из 2004 единиц и 2004 двоек представить в виде произведения n(n+1), где n -- целое число? Если да, то каково число n?
  5. В треугольнике ABC высота AH и медиана BM имеют равные длины. Найти угол MBC.
  6. В цилиндрическом стакане с водой плавает деревянная шайба с круглым сквозным отверстием. Высота надводной части шайбы h = 4 мм. Найти, на какую дополнительную высоту поднимется шайба по отношению ко дну стакана, если отверстие доверху заполнить маслом. Отношение плотности масла к плотности воды равно 0.8. Радиус стакана в 4 раза больше радиуса отверстия.
  7. В калориметр, содержащий лёд массой mЛ = 100 г. при температуре tЛ = -10oC, впускают водяной пар массой mП = 10 г. при температуре tП = 100oC. Найти массу воды, образовавшейся в калориметре после установления теплового равновесия. Удельная теплоёмкость льда CЛ = 2.1 кДж/(кг*град), удельная теплоёмкость воды CВ = 4.2 кДж/(кг*град), удельная теплота плавления льда l = 330 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды L = 2300 кДж/кг. Теплоёмкостью калориметра пренебречь.
  Главная  События  О нас  Учебная часть  Студенты  Преподаватели  Школа 1189
INSE WWW team   Обновлено: